C:\Integra\Proyects\Demo.pry PROJECT DESCRIPTION Este proyecto contiene los siguientes sistemas: + Atractor de Lorenz + Atractor de Rossler + Atractor de Chua + Atractor de Duffing + Atractor de Duffing Forzado + FitzHugh-Nagumo + FitzHugh-Nagumo Perturbado + Hodgkin-Huxley + Oscilador armonico + Pendulo sin Fricción + Pendulo con Fricción + Mendelson Forma Polar + Pendulo Forzado + Modelo Cuadrático General + van der Pol forzado + Modelo de Poblaciones "Chile" Atractor de Lorenz SYSTEM DESCRIPTION Atractor de Lorenz El atractor de Lorenz es la representación de un sistema de ecuaciones diferenciales autónomo (no depende explícitamente del tiempo), un sistema dinámico, que en principio su autor lo propuso para tratar de comprender los fenómenos meteorológicos. Se encontró con que a pesar de que los valores generados nunca se repiten y de que las condiciones iniciales pueden hacer variar completamente los valores generados.(de ahí su nombre de atractor extraño o caótico, y también que los que predicen el tiempo se equivoquen tanto), el atractor toma una forma única y parece conservar cierto orden, sus infinitas trayectorias nunca se cortan (pues eso implicaría que entraríamos en un ciclo periódico en un sistema autónomo), y también podemos comprobar cómo este objeto presenta la autosimilitud característica de los fractales. Esta extrema sensibilidad a las condiciones iniciales fue lo que originó la frase del llamado Efecto Mariposa: "...el aleteo de una mariposa en Australia sería suficiente para provocar un tornado en Tejas..." Conviene señalar que las condiciones necesarias para que exista caos en un sistema de ecuaciones diferenciales autónomo son: deben haber al menos tres ecuaciones diferenciales y al menos tres variables y al menos alguna no linealidad. El modelo atmosférico que utilizó Lorenz consiste en una atmósfera bidimensional rectangular, cuyo extremo inferior está a una temperatura mayor que el superior. De esta manera el aire caliente subirá y el aire frío bajará creándose corrientes que harán un intercambio de calor por convección. Las ecuaciones que describen este proceso son: dx/dt = s(y-x) dy/dt = rx - y - xz dz/dt = xy - bz En donde las variables, que únicamente dependen del tiempo son: "x" representa el flujo convectivo "y" es la distribución de temperaturas horizontal "z" es la distribución de temperaturas vertical Además tenemos de los tres parámetros que intervienen en las ecuaciones: "s" cociente entre la viscosidad y la conductividad térmica "r" la diferencia de temperaturas entre la capas inferior y superior "b" el cociente entre la altura y el ancho de nuestro rectángulo EQUATIONS x'=s*(y-x) y'=r*x-y-x*z z'=x*y-b*z s=10 r=28 b=2.666667 DIMENSION=20 Atrcator de Rosler SYSTEM DESCRIPTION Atractor de Rossler Este atractor no difiere mucho del de Lorenz, es un poco más sencillo (sólo tiene un término no lineal), lo descubrió Otto Rössler al estudiar las oscilaciones en las reacciones químicas, llegando a dar un modelo que tenía un comportamiento caótico para ciertos valores de los parámetros. dx/dt = -y - z dy/dt = x + ay dz/dt = b + xz - cz x(t), y(t), z(t) son las variables espaciales, función del tiempo (variable independiente); a, b, c son parámetros de la reacción, para que se presente el caso de atractor caótico debe ser c>5. EQUATIONS x'=-(y + z) y'=x + a * y z'=a + z *( x - b) a= 0.2 b = 5.7 Atractor de Chua SYSTEM DESCRIPTION Atractor de Chua Este atractor representa el comportamiento de un circuito no muy complicado: dos ramas en paralelo (resistencia e inductancia en una; un condensador en la otra) unidas mediante una resitencia en serie a otras dos ramas más (un condensador en una rama y en la otra un diodo chua). EQUATIONS V1'=C1*(G*(V2-V1)-a*V1*((b*b*V1*V1/3)-1)) V2'=C2*(G*(V1-V2)+i) i'=-L*V2 C1=9 C2=0.5 L=7 G=0.65 a=0.8 b=0.1 Atractor de Duffing SYSTEM DESCRIPTION Sistema de Duffing El sistema de Duffing tiene las siguientes ecuaciones dy -- = v dt dv -- = y - y^3 dt Este es un sistema Hamiltoniano con energía H(y,v) = v^2 - y^2 + y^4 --- --- --- 2 2 4 Este sistema tiene dos puntos de equilibrio lo cuales son centros en (-1,0) y (1,0) y un punto silla en (0,0). Las soluciones que tienden al punto silla cuando el tiempo tiende a menos infinito, también se acercan a ese punto cuando el tiempo tiende a infinito. Todas la demás soluciones son periódicas, y se mueven alrededor de uno de los centros o de los trs puntos de equilibrio. EQUATIONS y'= v v'= y - y * y * y DIMENSION = 4 Atractor de Duffing Forzado SYSTEM DESCRIPTION Sistema de Duffing forzado periódicamente El sistema de Duffing forzado periódicamente tiene las siguientes ecuaciones dy -- = v dt dv -- = y - y^3 + e*sen(t) dt siendo e un parámetro de valor pequeño Siendo este sistema hipersensible a condiciones iniciales EQUATIONS y'= v v'= y - y * y * y + e * sinl(t) e=0.06 DIMENSION = 4 FitzHugh-Nagumo SYSTEM DESCRIPTION FitzHugh-Nagumo EQUATIONS v'=I - v * (v - 1.0) * (v - a) - w w'=b * (v - (g * w)) a=0.15 b=0.01 g=2.5 I=0.05 DIMENSION_X=1000 DIMENSION_Y=1 VENTANA=1 ESCENARIO_X=0 ESCENARIO_Y=1 ESCENARIO_Z=-1 FitzHugh-Nagumo Perturbado SYSTEM DESCRIPTION FitzHugh-Nagumo perturbado EQUATIONS v'=- v * (v - 1.0) * (v - a) - w w'=b * (v - (g * w)) a=0.15 b=0.01 g=2.5 vi=0.33 ti=120.0 DIMENSION_X=1000 DIMENSION_Y=1 VENTANA=2 ESCENARIO_X=0 ESCENARIO_Y=1 ESCENARIO_Z=-1 METODO_NUMERICO=4 Hodgkin-Huxley SYSTEM DESCRIPTION Sistema de Hodgkin-Huxley que modela el potencial del la menbrana de una celula nerviosa EQUATIONS v'=1.0/C*(-(gk*powl(n,4.0)*(v-vk))-(gn*powl(m,3.0)*h*(v-vn))-(gl*(v-vl))+I) m'=(((0.1*((25.0-v)/(expl((25.0-v)/10.0)-1.0))))*(1.0-m))-(((4.0*expl(-v/18.0)))*m) h'=(((0.07*expl(-v/20.0)))*(1.0-h))-(((1.0/(expl((30.0-v)/10.0)+1.0)))*h) n'=(((0.01*((10.0-v)/(expl((10.0-v)/10.0)-1.0))))*(1.0-n))-(((0.125*expl(-v/80.0)))*n) gk=36.0 gn=120.0 gl=0.3 vn=115.0 vk=-12.0 vl=10.6 C=1.0 I=0.0 DIMENSION_X=10 DIMENSION_Y=100 ESCENARIO_X=0 ESCENARIO_Y=1 ESCENARIO_Z=-1 VENTANA=2 Oscilador Armonico SYSTEM DESCRIPTION Oscilador armonico EQUATIONS x'=y y'=-a*x a=1.0 Pendulo sin Fricción SYSTEM DESCRIPTION Pendulo sin fricción EQUATIONS x'=y y'=-c*sinl(x) c=1.0 Pendulo con Fricción SYSTEM DESCRIPTION Pendulo con fricción EQUATIONS x'=y y'=-k*y-c*sinl(x) k=0.5 c=1.0 Mendelson (polar) SYSTEM DESCRIPTION Mendelson forma polar EQUATIONS p'=p*(1.0-p) o'=sinl(o/2.0)*sinl(o/2.0) DIMENSION=3 VENTANA=6 Pendulo Forzado SYSTEM DESCRIPTION Pendulo forzado Dinámica caótica g = 1.15 Dinámica no caótica g << 0.5 EQUATIONS w'=-(w/q)-sinl(te)+g*cosl(fi) te'=w fi'=wd q=2 wd=0.666666666666666666666 g=1.0 DIMENSION_X=10 DIMENSION_Y=10 DIMENSION_Z=1000 ESCENARIO_X=2 ESCENARIO_Y=1 ESCENARIO_Z=-1 VENTANA=1 Logística EQUATIONS T'= 1.0 P'= K * (1 - (P * invl(N)) * P) K = 0.3 N = 6.0 DIMENSION = 10 Depredador-Presa EQUATIONS C' = (a * C) - (b * C * Z) Z' = - (g * Z) + (d * C * Z) a = 2.0 b = 1.2 g = 1.0 d = 0.9 Hodgkin-Huxley Rapido EQUATIONS v'=1.0/C*(-(gk*powl(n,4.0)*(v-vk))-(gn*powl(m,3.0)*h*(v-vn))-(gl*(v-vl))+I) m'=(am*(1.0-m))-(bm*m) am=(0.1*((25.0-v)/(expl((25.0-v)/10.0)-1.0))) bm=(4.0*expl(-v/18.0)) gk=36.0 gn=120.0 gl=0.3 vn=115.0 vk=-12.0 vl=10.6 C=1.0 I=0.0 h=0.596 n=0.3176 DIMENSION_X=150 DIMENSION_Y=1 ESCENARIO_X=0 ESCENARIO_Y=1 ESCENARIO_Z=-1 VENTANA=1 Hodgkin-Huxley Rapido-Lento EQUATIONS v'=1.0/C*(-(gk*powl(n,4.0)*(v-vk))-(gn*powl((am/(am+bm)),3.0)*(0.8-n)*(v-vn))-(gl*(v-vl))+I) n'=(an*(1.0-n))-(bn*n) am=(0.1*((25.0-v)/(expl((25.0-v)/10.0)-1.0))) bm=(4.0*expl(-v/18.0)) an=(0.01*((10.0-v)/(expl((10.0-v)/10.0)-1.0))) bn=(0.125*expl(-v/80.0)) gk=36.0 gn=120.0 gl=0.3 vn=115.0 vk=-12.0 vl=10.6 C=1.0 I=0.0 DIMENSION_X=100 DIMENSION_Y=1 ESCENARIO_X=0 ESCENARIO_Y=1 ESCENARIO_Z=-1 VENTANA=1 Modelo cuadrático SYSTEM DESCRIPTION Modelo cuadrático general EQUATIONS x'=x*(a+b*x+c*y) y'=y*(d+e*x+f*y) a=1.0 b=0.0 c=-0.5 d=-1.0 e=0.0 f=0.2 van der Pol SYSTEM DESCRIPTION Sistema de van der Pol forzado EQUATIONS x'=y-(((x*x*x)/a)-x) y'=-e*x+b*cosl(t) a=3.0 b=0.0 e=1.0 Poblaciones Chile SYSTEM DESCRIPTION Poblaciones "Chile" EQUATIONS x'=((1.0-x)*(A+(x*x))-Q*y)*(x*x) y'=B*(x-y)*(A+(x*x))*y A=0.1 B=0.27 Q=0.277225 ValidarMetodosNumericos EQUATIONS x'=1 y'=y-x*x+1 ValidarMetodosNumericosRigidos EQUATIONS x'=1 y'=5*expl(5*x)*(y-x)*(y-x)+1