En ésta página podrás conocer las herramientas necesarias para poder encontrar las raíces de polinomios de una variable con coeficientes enteros.
Existen polinomios con uno, dos o más términos, por ejemplo:
5 x2 En este caso el coeficiente es 5, la variable es x el exponente 2
6 x7 - 2
3 x5 + 4 x3 - x2
En este trabajo utilizaremos polinomios con coeficientes enteros y potencias enteras positivas.
| 5 x2 | Es un polinomio de grado 2 |
| 6 x7 - 2 | Es de grado 7 |
| 3 x5 + 4 x3 - x2 | Es de grado 5 |
| 2 x4- x3 - x2 | ¿De qué grado es? |
| 6 x5 - 4 x2 - 19 x | ¿De qué grado es? |
| 3 x15 + x13 - x2 | ¿De qué grado es? |
| 13 | ¿De qué grado es? |
Por ejemplo el polinomio
Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:
Puesto que x1 = - 4 y x2 = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos
entonces que x = - 4 y x = 3 son raíces del
polinomio f(x)= x2 + x - 12
Esto es, si r1, r2, ... , rn son raíces del polinomio f(x)
entonces la factorización de f(x) es:
Nota cómo se deben escribir los polinomios. Se deben escribir en orden decreciente con respecto al grado de cada término.
Raíces de un polinomio
La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando resolvamos un polimonio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio.
f(x) = x2 + x - 12
x2 + x - 12 = 0 Igualando a cero.
(x + 4)(x - 3) = 0 Factorizando.
x = - 4 Solución 1
x = 3 Solución 2
Las raíces de f(x) = x3 - 4 x2 + x + 6 son x = - 1, x = 2 y x = 3 ¿Por qué?
Factorización de un polinomio
El número de factores en que se puede descomponer un polinomio es igual al grado del polinomio (Teorema fundamental del Álgebra).
Para que podamos factorizar un polinomio es necesario encontrar sus raíces.
Cuando ya lasntengamos, los factores correspondientes a cada raíz son de la forma ( x - r ) donde r es una de las raíces.
Por ejemplo, si
como sus raíces son x = - 1, x = 2 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como
como sus raíces son x = - 4 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como
A continuación presentamos algunas funciones con sus raíces, factores y gráficas:
| Función | Raíces | Factorización | Gráfica |
| f(x)= x2 + x - 12 | - 4 y 3 | f(x) = (x + 4) (x - 3) |  |
| f(x)= x3 - 4 x2 + x + 6 | - 1, 2 y 3 | f(x) = (x + 1) (x - 2) (x - 3) |  |
| f(x)= x4 - 5 x2 + 4 | - 2, - 1, 1 y 2 | f(x) = (x + 1) (x + 2) (x - 1) (x - 2) |  |
| f(x)= x3 + 4 x2 + 3 x | ¿Cuáles son? | f(x) = |  |
| f(x)= x3 - 2 x2 - 5 x + 6 | 1, - 2 y 3 | f(x) = (x - 1) (x + 2) (x - 3) |  |
Es decir que la ecuación
tiene n soluciones. Recordemos que es esta página sólo tendremos polinomios con coeficientes enteros. Observa la tabla anterior, donde escribimos la función, las raíces y la gráfica y verfica que efectivamente para cada polinomio de grado n hay n raíces.
Una forma en la que podemos interpretar este teorema es como sigue, ya que se puede factorizar un polinomio dadas las raíces y hay
n raíces para todo polinomio de este grado, entonces:
donde r1, r2, ... , rn son las raíces de f(x).
La demostración de este teorema queda lejos del objetivo de esta página sin embargo daremos algunas herramientas para encontrar las n raíces.
Esta regla dice lo siguiente:
Hay que recordar que los polinomios los tenemos que escribir en orden decreciente conforme al grado de cada término.
Por ejemplo el polinomio
f(x)= x2 + x - 12 tiene un cambio de signo, del segundo al tercer término, por lo tanto tiene una raíz positiva.
g(x)= +x3 - 4 x2 + x + 6 tiene dos cambios de signo, tiene dos raíces positivas
h(x)= +x4 - 5 x2 + 4 tiene dos raíces positivas
i(x)= x3 + 4 x2 + 3 x No tiene cambios de signo, por lo tanto no tiene raíces reales positivas.
j(x)= x3 - 2 x2 - 5 x + 6 ¿Cuántas raíces positivas tiene?
La forma en que podemos usar esta información del término independiente es la siguiente, puesto que cualquier elemento de este conjunto puede ser raíz de f(x) hay que evaluar a f(x) en algun valor de este conjunto y si el resultado de la evaluación es cero, entonces ese valor escogido es raíz de f(x).
En la siguiente tabla mostramos varios polinomios, los divisores del término independiente y las raíces de los polinomios:
| Función | Divisores del término independiente | Raíces |
| f(x)= x2 + x - 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, -1, -2, -3, -4, -6, -12 | - 4 y 3 |
| f(x)= x3 - 4 x2 + x + 6 | 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 | - 1, 2 y 3 |
| f(x)= x4 - 5 x2 + 4 | 1, 2, 4, -1, -2, -4 | - 2, - 1, 1 y 2 |
| f(x)= x3 - 2 x2 - 5 x + 6 | 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 | 1, - 2 y 3 |
Además de haber encontrado una raíz usando el método anterior hemos hallado un factor de nuestro polinomio. Podemos estar seguros de que si r es una raíz de f(x) entonces al dividir f(x) / (x - r) tendrémos como resultado un polinomio de un grado menor a f(x) y como residuo cero.
Así hemos reducido nuestro prolema de encontrar n raíces en otro peroblema, el encontrar sólo n-1 raíces.
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